Zbiór wartości funkcji

Aby odpowiedzieć na pytanie jaki jest zbiór wartości funkcji należy zastanowić się jaki jest minimalny zbiór, który pomieści wszytkie wartości funkcji dla dowolnej wartości argumentu x należącego do dziedziny funkcji. Przy określaniu zbioru wartości funkcji warto czasem przypomnieć sobie jak wygląda wykres funkcji. Czasem wystarczy to do określenia zbioru wartości funkcji.

Poniżej przedstawiono przykłady zbiorów wartości dla funkcji: f(x)=2x+5, f(x)=1/x, f(x)=log(x), f(x)=√x, f(x)=x²+5x+4 , f(x) = 2sin²(x).

Przykład 1

Wyznaczyć zbiór wartości funkcji f(x)=2x+5.

Rozwiązanie 1

Zbiorem wartości funkcji f(x)=2x+5 jest zbiór liczb rzeczywistych R.

Przykład 2

Wyznaczyć zbiór wartości funkcji f(x)=1/x.

Rozwiązanie 2

Zbiorem wartości funkcji f(x)=1/x jest zbiór R\{0}. Funkcja ta przyjmuje dowolną wartość rzeczywistą z wyjątkiem liczby 0.

Przykład 3

Wyznaczyć zbiór wartości funkcji f(x)=log(x).

Rozwiązanie 3

Zbiorem wartości funkcji f(x)=log(x) jest zbiór R. Funkcja ta przyjmuje dowolną wartość rzeczywistą.

Przykład 4

Wyznaczyć zbiór wartości funkcji f(x)=√x.

Rozwiązanie 4

Zbiorem wartości funkcji f(x)=√x jest zbiór x>=0. Funkcja ta przyjmuje dowolną wartość rzeczywistą większą lub równą 0.

Przykład 5

Wyznaczyć zbiór wartości funkcji f(x)=x²+5x+4.

Rozwiązanie 5

Dana funkcja jest funkcją kwadratową. Jej wykresem jest więc parabola. W tym przypadku jest to parabola skierowana ramionami w górę. Zbiorem wartości funkcji będzie przedział < y_w , + ∞ ) gdzie y_w jest współrzędną y wierzchołka paraboli. y_w = - Δ / 4a . Obliczamy deltę: Δ = b²-4ac = 25-4*4=25-16=9. Stąd y_w = - Δ / 4a = -9/4. Zbiór wartości funkcji f(x) to przedział <-9/4 , + ∞ ).

Przykład 6

Wyznaczyć zbiór wartości funkcji f(x)=2sin²(x).

Rozwiązanie 6

Funkcja f(x)=sin²(x) przyjmuje wartości <0,1>. Dlatego funkcja f(x)=2sin²(x) przyjmuje wartości z przedziału <0,2>. Zbiorem wartości funkcji f(x)=2sin²(x) jest więc przedział <0,2>.

Polecamy przepis na blok czekoladowy - pyszny deser o waniliowo-mlecznym smaku. Blok czekoladowy - przepis