Wyrażenia wymierne

Wyrażeniem wymiernym zmiennej x nazywamy iloraz dwóch wielomianów postaci:

Dziedzina wyrażenia wymiernego

Dziedziną wyrażenia wymiernego nazywamy zbiór wartości x, dla których wyrażenie jest określone (istnieje). Zbiorem tym jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych różnych od miejsc zerowych wielomianu Q(x).

Przykład obliczania dziedziny wyrażenia wymiernego

Należy wyznaczyć dziedzinę wyrażenia:

Mianownik wyrażenia jest trójmianem kwadratowym. Wyznaczamy miejsca zerowe mianownika:

Δ=2*2-4*1*(-3)=4+12=16
x₁=(-2-4)/2=-3
x₂=(-2+4)/2=1

Stąd dziedzina wyrażenia wymiernego: R\{1,-3}

Skracanie wyrażenia wymiernego

Aby skrócić wyrażenie wymierne należy podzielić jego licznik i mianownik przez to samo wyrażenie.

Przykład skracania wyrażenia wymiernego

Należy skrócić następujące wyrażenie wymierne:

W pierwszej kolejności rozkładamy licznik i mianownik na czynniki:

Licznik:

Δ = 4-4*1*(-3)=4+12=16
x₁=(2-4)/2=-1
x₂=(2+4)/2=3

Zatem licznik można przedstawić w postaci (x+1)(x-3)

Mianownik:

Δ = 9-4*1*2=9-8=1
x₁=(-3-1)/2=-2
x₂=(-3+1)/2=-1

Zatem mianownik można przedstawić w postaci (x+1)(x+2)

Widzimy więc, że wyrażenie można skrócić przez (x+1). Po skróceniu otrzymujemy:

(x-3)/(x+2)

Rozszerzanie wyrażenia wymiernego

Aby rozszerzyć wyrażenie wymierne należy pomnożyć jego licznik i mianownik przez to samo wyrażenie.

Dodawanie/odejmowanie wyrażeń wymiernych

Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych przeprowadza się w podobny sposób jak w przypadku dodawania i odejmowania ułamków zwykłych: jeśli mianowniki są różne to sprowadzamy do wspólnego mianownika. Następnie wykonujemy dodawanie/odejmowanie.

Mnożenie/dzielenie wyrażeń wymiernych

Mnożenie i dzielenie wykonujemy podobnie jak w przypadku ułamków zwykłych:

-mnożenie: mnożymy licznik razy licznik i mianownik razy mianownik.
-dzielenie: mnożymy pierwsze wyrażenie przez odwrotność drugiego.

Polecamy przepis na blok czekoladowy - pyszny deser o waniliowo-mlecznym smaku. Blok czekoladowy - przepis