Wahadło matematyczne

Wahadło matematyczne składa się z masy m zawieszonej na nitce, sznurku itp. Okres drgań takiego wahadła nie zależy od masy m i od początkowego wychylenia. Zależy on od długości wahadła. Aby dane wahadło można było nazwać wahadłem matematycznym muszą być spełnione następujące warunki:

-wychylenie wahadła α musi być małe (zakłada się, że sin(α) ≈ α)
-rozmiar ciała zawieszonego na nici musi być niewielki
-masa nici (sznurka) musi być mała
-nić nie może być rozciągliwa

Na poniższym rysunku pokazano wahadło matematyczne.

Oto wzór na okres drgań wahadła matematycznego:

W powyższym wzorze l - długość nici, g-przyspieszenie ziemskie. Analizując wzór na okres drgań można zauważyć, że im dłuższe wahadło tym wolniej się waha, przy czym okres drgań wahadła jest proporcjonalny do pierwiastka z długości nici l. Z drugiej strony można powiedzieć, że im większa wartość przyspieszenia g tym szybciej wahadło się waha.

Przekształcając odpowiednio wzór na okres drgań wahadła, możemy wyznaczyć wzór na przyspieszenie ziemskie w zależności od okresu i długości wahadła matematycznego:

Pomiar okresu wahadła matematycznego może więc posłużyć do wyznaczenia wartości przyspieszenia ziemskiego - g.

Wahadło matematyczne - zadania

Zadanie 1

Na nici o długości 50 cm zawieszono kulkę. Wyznacz okres T zbudowanego wahadła matematycznego.

Rozwiązanie

Korzystamy z wzoru na okres wahadła matematycznego:

T= 2 * π * pierwiastek z (0.5/9.8) = 2 * π * 0.2258 = 1.4187 s

Zadanie 2

Na nici o długości l zawieszono kulkę. Okres drgań tego wahadła wynosił 2.8 s. Jaka była długość nici l?

Rozwiązanie

Przekształcamy wzór na okres drgań wahadła tak aby otrzymać długość nici l:

l = gT²/4 π² = 9.8 · 2.8²/(4 · 3.14²)=76.832/39.47=1.94 m

Zadanie 3

Zbudowano dwa identyczne wahadła matematyczne i sprawdzono ich działanie na biegunie północnym oraz na równiku. Które wahadło miało dłuższy okres drgań i dlaczego?

Rozwiązanie

Na równiku przyspieszenie ziemskie jest mniejsze niż na biegunach. Ze wzrostem przyspieszenia g maleje okres drgań wahadła matematycznego. Na równiku okres drgań będzie więc większy.

Polecamy przepis na blok czekoladowy - pyszny deser o waniliowo-mlecznym smaku. Blok czekoladowy - przepis