Twierdzenie Bezouta

Liczba a jest miejscem zerowym wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian W jest podzielny przez dwumian x-a.

Z twierdzenia Bezouta wynika, że reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian (x-a) jest równa W(a) czyli wartości wielomianu dla x=a.

Twierdzenie Bezouta - zadania

Zadanie 1

Sprawdź czy wielomian W(x)=x³-2x²+3x-2 jest podzielny przez dwumian x-1.

Rozwiązanie

Zgodnie z twierdzeniem Bezouta jeśli wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-1 to liczba 1 zeruje ten wielomian. Sprawdźmy to:

W(1)=1³-2*1²+3*1-2=1-2+3-2=0

Widzimy więc, że wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian x-1.

Zadanie 2

Dany jest wielomian W(x)=x³+x²+ax+b, który jest podzielny przez dwumiany x-1 i x+1. Wyznacz współczynniki a i b.

Rozwiązanie

Jeśli W(x) jest podzielny przez dwumiany x-1 i x+1 to liczby 1 i -1 zerują wielomian W(x). Stąd otrzymujemy:

W(1)=1+1+a+b=0
W(-1)=-1+1-a+b=0

2+a+b=0
-a+b=0

Stąd otrzymujemy:

a=b
2+a+a=0
2a=-2
a=-1
b=-1

Zadanie 3

Nie wykonując dzielenia wielomianów wykaż, że dzielenie jest wykonalne:

(x⁴-3x³+4x²-6x+4):(x-2)

Rozwiązanie

Korzystając z twierdzenia Bezouta obliczamy wartość wielomianu dla x=2:

2⁴-3*2³+4*2²-6x+4 = 16-3*8+4*4-6*2+4=16-24+16-12+4=0

Ze względu na to, że liczba 2 zeruje wielomian, to na mocy twierdzenia Bezouta wielomian ten jest podzielny przez dwumian x-2.

Polecamy przepis na blok czekoladowy - pyszny deser o waniliowo-mlecznym smaku. Blok czekoladowy - przepis

Przepis na pleśniaka - pyszne ciasto owocowe - Pleśniak przepis