Równania wymierne

Równanie wymierne to równanie postaci:

Gdzie W(x),Q(x) to wielomiany niewiadomej x.

Przy rozwiązywaniu równania wymiernego przekszatałcamy je do postaci równoważnej:

W(x)=0 ∧ Q(x)<>0

Rozwiązywanie równań wymiernych

Aby rozwiązać równanie wymierne należy rozłożyć wielomiany W(x) i Q(x) na czynniki. W zależności od sytuacji możemy tu zastosować techniki takie jak grupowanie czynników, dzielenie wielomianów czy stosowanie twierdzenia Bezouta. Następnie wyznaczamy miejsca zerowe wielomianów z licznika i mianownika wyrażenia wymiernego i na tej podstawie określamy zbiór rozwiązań równania wymiernego.

Równania wymierne - zadanie

Zadanie 1

Należy rozwiązać równanie:

Rozwiązanie

W liczniku i mianowniku wyrażenia wymiernego znajdują się trójmiany kwadratowe. Rozkładamy je na czynniki:

Najpierw licznik:

delta=1-4*1*(-2)=1+8=9
pierwiastek z delty = 3

x1=(-1-3)/2=-4/2=-2
x2=(-1+3)/2=2/2=1

Następnie rozkładamy trójmian w mianowniku:

delta=16-4*1*3=16-12=4
pierwiastek z delty = 2

x1=(-4-2)/2=-6/2=-3
x2=(-4+2)/2=-2/2=-1

Stąd otrzymujemy równoważną postać danego równania wymiernego:

Stąd rozwiązanie naszego równania jest następujące:

(x=-2 ∨ x=1) ∧ x≠-3 ∧ x≠-1 co jest równoważne x=-2 ∨ x=1

Zadanie 2

Należy rozwiązać równanie:

Rozwiązanie

W liczniku wyłączamy x przed nawias:

Następnie rozkładamy trójmian kwadratowy w liczniku na czynniki:

delta = 1²-4*1*(-6)=1+24=25
piewiastek z delty = 5

x1=(-1-5)/2*1=-6/2=-3
x2=(-1+5)/2*1=4/2=2

Rozkładamy mianownik na czynniki:

delta=25-4*1*6=25-24=1
piewiastek z delty = 1

x1=(-5-1)/2*1=-6/2=-3
x2=(-5+1)/2*1=-4/2=-2

Stąd otrzymujemy rozwiązanie: (x=0 ∨ x=2 ∨ x=-3) ∧ (x≠-3 ∨ x≠-2 ) co jest równoważne x=0 ∨ x=2

Zobacz także:

Funkcja wymierna
Nierówności wielomianowe
Dzielenie wielomianów
Wielomiany zadania
Twierdzenie Bezouta

Polecamy przepis na blok czekoladowy - pyszny deser o waniliowo-mlecznym smaku. Blok czekoladowy - przepis