Równania logarytmiczne

Równanie logarytmiczne to takie równanie, w którym niewiadoma występuje w podstawie logarytmu lub liczbie logarytmowanej. Zwykle przy rozwiązywaniu równania logarytmicznego należy je sprowadzić do postaci:

log_af(x) = log_ag(x) (1.1)

Równanie (1.1) jest równoważne następującemu układowi:

f(x)>0
g(x)>0
f(x) = g(x)

Równanie logarytmiczne - zadanie 1

Należy rozwiązać równanie log₃(x²+5)=2

Rozwiązanie

Zamieniamy prawą stronę równania na logarytm o podstawie 3:

log₃(x²+5)=log₃(9)

Otrzymane równanie jest równoważne układowi:

x²+5>0
9>0
x²+5=9

Pierwsze dwie nierówności są spełnione dla dowolnej wartości x. Przekształćmy równanie x²+5=9:

x²-4=0
x=-2 lub x=2

Rowziązaniem danego równania logarytmicznego są następujące liczby: x=-2 lub x=2

Równanie logarytmiczne - zadanie 2

Należy rozwiązać równanie log_x(2x²-4)=2

Rozwiązanie

Aby równanie miało sens muszą być spełnione następujące warunki:

x > 0 i x ≠ 1
2x²-4>0

czyli:

x > 0 i x ≠ 1

i

x²-2>0

x < - pierwiastek(2) lub x > pierwiastek(2)
i
x > 0 i x ≠ 1

czyli:

x > pierwiastek(2)

Przystępujemy do rozwiązywania równania:

log_x(2x²-4)=2
log_x(2x²-4)=log_x(x²)
2x²-4=x²
x²-4=0
x=-2 lub x=2 i z założenia x > pierwiastek(2)
Czyli x = 2.

Polecamy przepis na blok czekoladowy - pyszny deser o waniliowo-mlecznym smaku. Blok czekoladowy - przepis