Nierówności wielomianowe

Nierówność wielomianowa to taka nierówność, w której lewa strona jest wielomianem:

W(x) > 0
W(x) >= 0
W(x) < 0
W(x) <= 0

Oto przykłady nierówności wielomianowych:

x³-x < 0
x³+3x²+2x >0

Rozwiązywanie nierówności wielomianowych

Aby rozwiązać nierówność wielomianową należy wykonać kilka kroków:

1. Obliczyć granice wielomianu W(x) dla x -> ∞ i dla x -> -∞ . Wartości tych granic będą równe ∞ lub -∞. Zasada jest następująca: jeśli najwyższa potęga wielomianu (stopień) jest parzysta i współczynnik przy najwyższej potędze >0 to obydwie granice = ∞ , jeśli wsp. < 0 to obydwie granice = -∞ . Jeśli najwyższa potęga wielomianu (stopień) jest nieparzysta i współczynnik jest ujemny wówczas granica dla x->-∞ = ∞ i x->∞ = -∞. Jeśli współczynnik jest dodatni wówczas dla x->-∞ = -∞ i x->∞ = ∞.

2. Rozłożyć wielomian W(x) na czynniki (wyznaczyć jego miejsca zerowe);

3. Na podstawie punktów 1-2 naszkicować wykres funkcji f(x)=W(x).

Przykład nr 1 nierówności wielomianowej

Należy rozwiązać nierówność:

x³+3x²+2x >0

Rozwiązanie

1. Ponieważ stopień wielomianu jest nieparzysty i współczynnik przy najwyższej potędze =1 >0 to granice są równe: dla x->-∞ = -∞ i x->∞ = ∞.

2. Rozkładamy wielomian na czynniki. Wyłączamy x:

x³+3x²+2x = x(x²+3x+2)

Trójmian kwadratowy rozkładamy na czynniki:

x²+3x+2

delta = 9 - 4 * 1 * 2=9-8=1
pierwiastek z delta=1

x1=(-3-1)/2=-4/2=-2
x2 = (-3+1)/2=-2/2=-1

Stąd:

x(x²+3x+2) = x(x+1)(x+2)

3. Szkicujemy wykres funkcji f(x)=W(x):

Ponieważ dla x->-∞ W(x) -> -∞ dlatego wykres z lewej strony opada w dół. Ponieważ dla x ->∞ W(x) -> ∞ dlatego wykres z prawej strony zmierza ku górze.

Odczytujemy z wykresu rozwiązanie nierówności: x należy do przedziału (-2,-1) lub x >0.

Polecamy przepis na blok czekoladowy - pyszny deser o waniliowo-mlecznym smaku. Blok czekoladowy - przepis

Przepis na pleśniaka - pyszne ciasto owocowe - Pleśniak przepis