Nierówności logarytmiczne

Nierówność logarytmiczna to taka nierówność, w której niewiadoma występuje w podstawie logarytmu lub liczbie logarytmowanej. Zwykle przy rozwiązywaniu nierówności logarytmicznych należy ją sprowadzić do postaci:

log_af(x)>log_ag(x) (1.0)

Jeśli 0 < a < 1 to nierówność (1.0) jest równoważna układowi następujących trzech nierówności:

f(x)>0
g(x)>0
f(x)< g(x)

Jeśli a > 1 to nierówność (1.0) jest równoważna układowi następujących trzech nierówności:

f(x)>0
g(x)>0
f(x)>g(x)

Przykład nr 1 nierówności logarytmicznej

Należy rozwiązać nierówność:

log₂(x-3)+log₂(x+3) > 4

Rozwiązanie

Zamieniamy sumę logarytmów na logarytm z iloczynu:

log₂[(x-3)(x+3)] > 4

Przekształcamy prawą stronę na logarytm o podstawie 2:

log₂[(x-3)(x+3)] > log₂(16)

Ponieważ podstawa logarytmu > 1 to dana nierówność jest równoważna układowi nierówności:

(x-3)(x+3)>0
16>0
(x-3)(x+3)>16

Pierwsza nierówność jest spełniona dla x<-3 lub x>3, druga jest spełniona dla dowolnego x, trzecia dla x<-5 lub x>5. Część wspólna tych rozwiązań to x<-5 lub x>5. Oznacza to, że rozwiązaniem danej nierówności są takie wartości x, że x<-5 lub x>5.

Przykład nr 2 nierówności logarytmicznej

Należy rozwiązać nierówność:

log_0.5(x-1) > -2

Rozwiązanie

Przekształcamy prawą stronę na logarytm o podstawie 0.5:

log_0.5(x-1) > log_0.5(4)

Ponieważ podstawa logarytmu należy do przedziału (0,1) to dana nierówność jest równoważna układowi nierówności:

x-1 > 0
4 > 0
x-1 < 4

Pierwsza nierówność jest spełniona dla x > 1, druga nierówność jest spełniona dla dowolnej wartości x, trzecia nierówność jest spełniona dla x < 5. Część wspólna tych przedziałów to : x należy do (1,5). Czyli rozwiązaniem danej nierówności logarytmicznej jest przedział (1,5).

Polecamy przepis na blok czekoladowy - pyszny deser o waniliowo-mlecznym smaku. Blok czekoladowy - przepis