Matura z matematyki

Matura z matematyki

Zestawy zadań maturalnych z matematyki

Rok 1976 , LO profil mat.-fiz.

1.W kulę o promieniu R wpisano walec o możliwie największej objętości. Wyznaczyć stosunek objętości kuli do objętości tego walca.

2. Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC| = |BC|, długość podstawy AB równa się c i miara kąta CAB równa się α. Na bokach AC i BC tego trójkąta obrano odpowiednio takie punkty M i N, że MN || AB i |AM| + |BN| = |MN|. Obliczyć długość odcinka M N i zbadać, dla jakiej wartości α spełniony jest warunek MN =2c/3.

3. Dane jest równanie z niewiadomą x:

Dla jakich wartości α równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywisteo jednakowych znakach?

4. Na egzamin przygotowano 45 pytań, z których zdający losuje 4. Uczeń otrzymuje ocenę bardzo dobrą za poprawną odpowiedź na 4 pytania; ocenę dobrą za poprawną odpowiedź na 3 pytania; a ocenę dostateczną za poprawną odpowiedź na 2 pytania. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania oceny bardzo dobrej, a jakie co najmniej dostatecznej, jeśli uczeń umie odpowiedzieć na 2/3 pytań z zestawu?

5. Dany jest zbiór trójkątów o wspólnym wierzchołku A(0,6). Boki tych trójkątów przeciwległe wierzchołkowi A zawierają się w prostej o równaniu y + 2 = 0 i każdy z nich ma długość 4. Napisać równanie krzywej, która jest zbiorem środków okręgów opisanych na tych trójkątach.

Rok 1980 , LO profil mat.-fiz.

1. Zbadaj przebieg zmienności funkcji

i naszkicuj jej wykres.

2. Określi równianiem zbiór środków wszystkich okręgów stycznych zewnętrznie do okręgu wpisanego w trójkąt o wierzchołkach

oraz stycznych do osi OY. Podaj geometryczną interpretację rozwiązania.

3. Rozwiąż równanie:

4. Na płaszczyźnie danych jest siedem punktów, z których żadne trzy nie są współliniowe. Kreślimy trzy różne odcinki o końcach w tych punktach. Zakładając, że wszystkie rezultaty są jednakowo prawdopodobne, oblicz prawdopodobieństwo tego, że wykreślone trzy odcinki utworzą trójkąt.

5. W trapezie ABCD krótsza podstawa DC ma długość b, zaś podstawa AB długość a. Na przedłużeniu podstawy DC zaznaczono punkt X taki, że prosta AX dzieli trapez na części o równych polach. Oblicz |CX|.

LO profil mat.-fiz.

1.Styczna do wykresu funkcji u=ln(x) przecina oś OY w punkcie A, zaś prostą y=1 w punkcie B. Punkt C jest punktem przecięcia się prostej y=1 z osią OY. Wyraź pole trójkąta ABC jako funkcję odciętej punktu styczności. Wyznacz ekstrema tej funkcji.

2.Opisz za pomocą równania zbiór środków wszystkich okręgów stycznych zewnętrznie do okręgu x²+y²=4 i jednocześnie stycznych do prostej y=2. Naszkicuj tę krzywą.

3. Oblicz pole figury F, jeśli:

4. W pierwszej z dwóch urn znajduje się n kul białych i 2n czarnych, a w drugiej 2n kul białych i nczarnych. Z losowo wybranej urny losujemy jedną kulę. Jeżeli jest to kula biała, to z tej samej urny losujemy drugą kulę (pierwszej nie zwracamy). Jeżeli wylosowana za pierwszym razem kula jest czarna, to drugą kulę losujemy z pozostałej urny. Niech X oznacza liczbę wylosowanych kul białych. Dla jakiego n wartość oczekiwana EX<1?

5. W kole o środku O poprowadzono dwie wzajemnie prostopadłe średnice AB i CD oraz cięciwę AM przecinającą średnicę CD w punkcie K. Dla jakiego kąta między cięciwą AM i średnicą AB zachodzi |OB|+|KM|=|KO|+|MB|?

LO profil mat.-fiz.

1. Wycinek koła o promieniu R i kącie środkowym α zwinięto w powierzchnię boczną stożka. Dla jakiego α objętość otrzymanego stożka jest największa? Oblicz tę objętość.

2.Opisz równaniem krzywą, która jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny równo odległych od dwóch danych okręgów : x²+y²=1 i x²+(y-4)²=4. W układzie współrzędnych naszkicuj tę krzywą.

3. Dla jakich wartości α równanie (2sinα -1)4^x-2^x+1+sinα =0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste?

4.Oblicz pole obszaru płaskiego ograniczonego krzywą y=(x+1)e^-x i osią OX dla x należącego do przedziału <-2,0>.

5. Wyznacz wszystkie trójwyrazowe ciągi geometryczne, w których wyraz pierwszy a₁ należy do N, iloraz q należy do N\{0} i suma wyrazów każdego z tych ciągów jest równa 21.

Rozwiązania zadań już wkrótce!