Liczby zespolone

Pojęcie liczby zespolonej

Zobacz także Liczby zespolone zadania

W matematyce wprowadzano kolejne podzbiory liczb po to aby były w nich wykonywalne pewne działania. I tak na przykład ze względu na to, że w zbiorze liczb naturalnych nie były wykonywalne niektóre odejmowania wprowadzono liczby całkowite. Zbiór liczb zespolonych został wprowadzony ze względu na to, że w zbiorze liczb rzeczywistych nie można było wykonywać pierwiastkowania liczb ujemnych. Liczby zespolone mają postać: a+b*i gdzie i jest równe pierwiastkowi z -1 i nazywa się jednostką urojoną. Liczba a jest nazywana częścią rzeczywistą, liczba b częścią urojoną.

Moduł liczby zespolonej

Niech będzie dana liczba zespolona z postaci a+b*i. Modułem liczby zespolonej z nazywamy wyrażenie:

Argument liczby zespolonej

Jeśli liczbę zespoloną z=a+bi przedstawimy w postaci pokazanej na rysunku:

Wskaz zespolony - postać graficzna liczby zespolonej

to kąt φ nazywamy argumantem liczby zespolonej z.

Postać trygonometryczna liczb zespolonych

Dowolną liczbę zespoloną z można przedstawić w postaci:

z=a+bi=|z|(cos φ + i*sin φ )

Liczba sprzężona

Niech będzie dana liczba zespolona z postaci a+b*i. Liczbą sprzężoną nazywamy liczbę zespoloną postaci a-b*i.

Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych

Dodawanie (odejmowanie) liczb zespolonych przeprowadzamy w ten sposób, że dodajemy (odejmujemy) części rzeczywiste i urojone odpowiednich liczb. Poniżej pokazano dodawanie i odejmowanie dwu liczb: a+bi oraz c+di:

(a+bi) + (c+di) = (a+c)+ (b+d)*i
(a+bi) - (c+di) = (a-c)+ (b-d)*i

Przykład dodawania/odejmowania liczb zespolonych

Należy obliczyć sumę i różnicę (z₁-z₂) liczb z₁=(2+3i) ,z₂=(1-i).

Rozwiązanie

z₁+z₂2+3i+1-i=3+2i
z₁-z₂2+3i-(1-i)=1+2i

Mnożenie liczb zespolonych

Niech dane będą dwie liczby zespolone z₁=a+bi oraz z₂=c+di. Iloczyn liczb z₁,z₂ przeprowadzamy następująco:

z₁ * z₂=(a+b*i)(c+d*i)=ac+ad*i+bc*i-bd=(ac-bd)+i*(ad+bc)

Przykład mnożenia liczb zespolonych

Należy wykonać mnożenie liczb z₁=1+2i oraz z₂=1-3i

Rozwiązanie

z₁*z₂=(1+2i)(1-3i)=1-3i+2i+6=7-i

Dzielenie liczb zespolonych

Przykład dzielenia liczb zespolonych

Należy wykonać dzielenie (1+2i)/(3+i).

Rozwiązanie

W pierwszej kolejności mnożymy licznik i mianownik przez liczbę sprzężoną mianownika:

(1+2i)/(3+i) = (1+2i)(3-i)/[(3+i)(3-i)]

i wykonujemy odpowiednie mnożenia w liczniku i mianowniku:

(3-i+6i+2)/(9+1)=(5+5i)/(10)=0.5+0.5i

Potęgowanie liczb zespolonych

Dla liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej:

z = |z|(cos φ + i*sin φ )

n-ta potęga dana jest wzorem:

zⁿ= |z|ⁿ(cos nφ + i*sin nφ )

Przykład potęgowania liczby zespolonej

Należy obliczyć (1+i)³

Rozwiązanie

Potęgowanie liczb zespolonych - przykład

Pierwiastkowanie liczb zespolonych

Dla liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej:

z = |z|(cos φ + i*sin φ )

Pierwiastek n-tego stopnia dany jest wzorem:

Pierwiastkowanie liczb zespolonych - przykład

Należy obliczyć pierwiastek drugiego stopnia z liczby 1+i.

Rozwiązanie

Szukany pierwiastek ma dwie wartości:

1.09868 + 0.45509 i
-1.09868 + -0.45509 i

Kalkulator liczb zespolonych

Przedstawiamy prosty kalkulator pozwalający na dodawanie,odejmowanie,mnożenie, dzielenie, podnoszenie do potęgi, pierwiastkowanie, obliczanie modułu i argumentu liczb zespolonych.

Pobierz program

Polecamy przepis na blok czekoladowy - pyszny deser o waniliowo-mlecznym smaku. Blok czekoladowy - przepis