| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ciąg arytmetyczny
Ciąg arytmetycznyCiąg arytmetyczny an to ciąg liczbowy, w którym spełniony jest warunek: Dla każdego n należącego do zbioru liczb naturalnych dodatnich wartość an+1-an jest stała i równa r. Liczba r jest nazywana różnicą ciągu arytmetycznego. Wzór na n-ty element ciągu arytmetycznegoWyznaczmy elementy a2, a3 i a4 w zależności od a1 i r:a2-a1=r Stąd: a2=a1+r a3-a2=r Stąd : a3=a2+r czyli : a3=a1+r+r=a1+2r a3=a1+2r a4-a3=r a4=a3+r a4=a1+2r+r=a1+3r a4=a1+3r Łatwo wydedukować jaki będzie wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: an=a1+(n-1)r  Przykład ciągu arytmetycznego.2, 5, 8, 11, 14, 17, 20 ...Uzasadnienie: 20-17=3 17-14=3 14-11=3 11-8=3 8-5=3 5-2=3 Powyższy ciąg jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r=3. Suma n pierwszych elementów ciągu arytmetycznego.Oto wzór na sumę n pierwszych elementów ciągu arytmetycznego: Gdzie : a1 - pierwszy element ciągu , an - n-ty element ciągu Ciąg arytmetyczny - przykładowe zadania.Zadanie 1Dany jest ciąg o wyrazie ogólnym bn=4n+12. Udowodnij, że ten ciąg jest ciągiem arytmetycznym. Zadanie 1 - rozwiązanie Aby udowodnić, że ciąg jest ciągiem arymetycznym wystarczy dowieść, że różnica kolejnych elementów ciągu jest stała. n-ty element : bn = 4n+12 n+1 element : bn+1 = 4(n+1)+12=4n+16 Różnica kolejnych elementów: bn+1 - bn = 4n+16-(4n+12)=4n+16-4n-12=4 c.n.d. Zadanie 2 Udowodnij, że dany ciąg arytmetyczny o wyrazie ogólnym an=3n-1 jest rosnący. Zadanie 2 - rozwiązanie an = 3n-1 an+1 = 3(n+1)-1=3n+3-1=3n+2 Aby zbadać monotoniczność ciągu badamy różnicę: an+1 - an = 3n+2 - (3n-1)=3n+2-3n+1=3 Ze względu na to, że różnica r>0 możemy stwierdzić, że ciąg jest rosnący. |
Polecamy przepis na blok czekoladowy - pyszny deser o waniliowo-mlecznym smaku. Blok czekoladowy - przepis