1. Określenie dziedziny funkcji.
2. Miejsca zerowe funkcji.
3. Wyznaczenie przedziałów monotoniczności.
4. Wyznaczenie maksimów i minimów (jeśli istnieją).
5. Określenie granic funkcji na krańcach przedziałów określoności.
6. Wyznaczenie asymptot funkcji.
7. Narysowanie wykresu funkcji.
Podane wyżej punkty wykonamy dla przykładowej funkcji f(x)=1/(x2-1).
1. Określenie dziedziny funkcji.
Podana funkcja jest określona dla wszystkich liczb należących do R z wyjątkiem tych, które zerują mianownik:
x2-1 ≠ 0
x≠1 i x≠-1
Zatem dziedzina funkcji f(x) to R\{-1,1}
2. Miejsca zerowe funkcji.
Dana funkcja nigdy nie przyjmuje wartości 0 (licznik jest stały i nigdy się nie zeruje), zatem
dana funkcja nie posiada miejsc zerowych.
3,4. Wyznaczenie przedziałów monotoniczności.
i x ≠ -1 i x ≠ 1.
Ponieważ mianownik pochodnej jest zawsze dodani (dla x należących do dziedziny) dlatego o znaku pochodnej będzie decydować
tylko i wyłącznie licznik pochodnej:
f'(x) > 0
-2x > 0
x < 0 i x ≠ -1
f'(x) < 0
-2x < 0
x > 0 i x ≠ 1
f'(x) = 0
x=0
x
- ∞
-1
...
0
...
1
+ ∞
f'(x)
+
nie istnieje
+
0
+
nie istnieje
-
f(x)
rosnąca
nie istnieje
rosnąca
maksimum
malejąca
nie istnieje
malejąca
5. Określenie granic.
6. Asymptoty wykresu funkcji.
Dana funkcja posiada asymptotę poziomą y=0, dwie asymptoty pionowe x=-1 i x=1. Funkcja nie posiada asymptot ukośnych.